RESOLVENDO PROBLEMAS

COMO RESOLVER PROBLEMAS SEGUNDO GEORGE POLYA

A base para muita pesquisa em resolução de problemas matemáticos pode ser encontrada nos escritos de Polya. Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, o grande matemático George Polya o dividiu em quatro etapas, que resumimos abaixo. Antes de passarmos a elas, é muito importante enfatizar que Polya nunca pretendeu que sua divisão implicasse que resolver problemas fosse um procedimento a ser decorado nem que funcionasse como uma poção mágica.

ROTEIRO PARA RESOLVER PROBLEMAS

1).- ENTENDA O PROBLEMA:

      Este princípio é evidente, mas às vezes, por sermos apressados ou por pressas que nos impõem de fora, colocamo-nos imediatamente a caminho. Quando lhe propuserem um problema, assegure-se de que entende os dados, as incógnitas e as condições que devem ser satisfeitas. Mesmo que ao princípio pareça melhor outro caminho, você ganhará tempo. O objetivo aqui é manter em mente o ponto onde se quer chegar.

• Primeiro, você.tem de entender o problema.
• Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições?
• É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes para determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias?
• Faça uma figura. Outra se necessário. Introduza notação adequada.
• o    Separe as condições em partes.

2). CONSTRUA UMA ESTRATEGIA DE RESOLUÇÃO

Ache conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável. Use isso para "bolar" um plano ou estratégia de resolução do problema. Nesta fase do processo, você deve tentar reunir uma quantidade de possíveis modos de atacar o problema. É preciso que surjam muitas idéias, mesmo que de início possam parecer totalmente despropositadas. As idéias mais extravagantes podem depois vir a ser as melhores. Vale a pena expandirmos um pouco esses conselhos:

• Você já encontrou este problema ou algum parecido?
• Você conhece um problema semelhante? Você conhece teoremas ou fórmulas que possam ajudar?
• Olhe para a incógnita! E tente achar um problema familiar e que tenha uma incógnita semelhante
• Aqui está um problema relacionado com o seu e que você já sabe resolver. Você consegue aproveitá-lo? Você pode usar seu resultado? Ou seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar de modo a viabilizar esses objetivos?
• Você consegue enunciar o problema de uma outra maneira?
• Se você não consegue resolver o problema dado, tente resolver um problema parecido. Você consegue imaginar um caso particular mais acessível? Um caso mais geral e mais acessível? Você consegue resolver alguma parte do problema? Mantenha apenas parte das condições do problema e observe o que ocorre com a incógnita, como ela varia agora? Você consegue obter alguma coisa desde os dados? Você consegue imaginar outros dados capazes de produzir a incógnita? Você consegue alterar a incógnita ou os dados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem mais próximos? Talvez o problema seja complicado porque há muitos elementos. Por que você mesmo não o torna mais fácil. Tente resolver um problema parecido com menos elementos. Talvez com isso você tenha uma idéia para resolver o mais complicado. Começar pelo fácil torna fácil o difícil.
• Você está levando em conta todos os dados? E todas as condições?
• Faça um esquema. Muitas pessoas pensam melhor com imagens do que com palavras, ou seja, o pensamento durante uma investigação pode ser não-verbal, mas acompanhado de imagens sensoriais e até mesmo motoras.
• Suponha que não ... Onde isto o leva? Este é o raciocínio a que se costuma chamar de indireto ou por redução ao absurdo. São muitos os problemas que se podem tratar assim. Você pretende demonstrar que uma situação se comporta de determinada forma. Começa supondo que não se comporta assim e vai fazendo deduções e raciocinando corretamente e a cadeia de raciocínios o leva a uma conclusão contrária ao senso comum. Fica claro então que o seu ponto de partida estava incorreto e fica assim demonstrado o resultado.

o    Suponha o problema resolvido. Esta tática será especialmente útil nos problemas em que tenha que construir alguma figura, algum elemento que tenha de estar relacionado, de forma determinada pelas condições, com outros que são dados. Imagine o problema resolvido. E construindo de forma aproximada, a olho, como a coisa deve funcionar, terá oportunidade de explorar as relações entre os elementos dados e os que procura. Finalmente, ao aproximá-los, pode saltar a faísca que o faça ver claro como deve proceder a partir dos dados.

·         3).- EXECUTE A ESTRATÉGIA

Frequentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo, a maioria dos principiantes tendem a pular para essa etapa prematuramente, e acabam dando-se mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se enredando terrivelmente na execução.

• Execute a estratégia.
• Ao executar a estratégia, verifique cada passo. Você consegue mostrar claramente que cada um deles está correto?
• Escolha uma boa notação. Muitos problemas ficam imensamente complicados com uma notação inadequada e tornam-se transparentes quando tomamos eixos adequados, os nomes apropriados para os elementos.
• Se ao por em prática uma idéia lhe ocorrer outra totalmente desligada da primeira e que pensa poder lhe ajudar, não a despreze! Mas também não deixe desviar a atenção do que agora está a explorar.
• Não abandone facilmente uma idéia que lhe pareceu boa. Mas também não insista demais com uma só idéia. Se as coisas se complicarem, haverá provavelmente um outro caminho. Você tem que estar preparado para reconhecer que as suas virtualidades talvez fossem uma miragem que se torna mais clara à medida que a explora. Se vir que a idéia não o faz aproximar-se da solução, tente outra.

4).- REVISE

Resolveu o problema? Parabéns! Ou trabalhou horas a fio, acabou por não o resolver? Parabéns também! Se passou algum tempo interessado e tentando resolver o problema e decidiu pedir auxílio para ver como se resolve o problema, a experiência até pode ser mais satisfatória do que no primeiro caso. Muitas vezes aprende-se muito mais, e mais profundamente, com os problemas que se tentaram com interesse e persistência e não se resolveram, do que com os que se resolvem quase à primeira vista. Lembre-se: O erro pode ser instrutivo, e as pessoas que realmente pensam, aprendem tanto com os sucessos quanto com os insucessos. Seja como for, o que é preciso agora é que reflita um pouco sobre todo o processo, para que fique com uma idéia de quais foram as suas dificuldades, os becos sem saída em que se encontrou e porquê e como poderia proceder no futuro para resolver melhor outros problemas, parecidos ou não. Esta fase do processo pode ser a mais proveitosa de todas e a que mais vezes nos esquecemos de realizar.

• Examine a solução obtida. Examine o caminho que seguiu para obter a solução. Utilizou todos os dados? Satisfez todas as condições?
• Verifique o resultado e o argumento. Não se contente em obter a resposta por acaso, pois a  maior parte das vezes não terá tanta sorte.
• Você pode obter a solução de um outro modo?
• Qual a essência do problema e do método de resolução empregado? Em particular, você consegue usar o resultado, ou o método, em algum outro problema? Talvez você mesmo possa inventar outros problemas mais interessantes que se resolvam com os mesmos processos.

PROBLEMAS DESAFIOS

1. Quatro bolas do mesmo tamanho podem ser posicionadas de forma que qualquer duas delas se toquem. Cinco moedas iguais também. E seis cigarros? (Não vale dobrar nem quebrar os mesmos).

2. Dois barcos saem ao mesmo tempo de margens opostas de um rio bem largo, viajando em direção perpendicular às margens. Cada um trafega a velocidade constante, mas um é mais veloz do que o outro. Eles se cruzam a 720 metros de uma das margens. Chegando à margem oposta cada um deles pára por 10 minutos antes de começar a voltar, sempre com a mesma velocidade. Na viagem de volta eles se cruzam a 400 metros da outra margem. Qual é a largura do rio?

3. Um eletricista, trabalhando sozinho, encontra um problema intrigante. Na garagem de um edifício de 3 andares sem elevador ele encontra 11 extremidades de fios. Num buraco no topo do edifício descobre as outras extremidades dos mesmos fios. Seu objetivo é rotular as 22 extremidades com 11 rótulos de forma que as extremidades de um mesmo fio tenha rótulos iguais. Para cumprir sua tarefa ele pode fazer duas coisas: (1) por em curto circuito os fios na garagem ou no teto juntando extremidades; (2) testar por um circuito fechado por meio de testador de continuidade formado por uma bateria e uma campainha. A campainha toca quando o instrumento é acoplado às duas extremidades de um circuito contínuo formado por fios em série. Não querendo se exaurir subindo e descendo escadas desnecessariamente e sendo um apaixonado por Pesquisa Operacional, o eletricista sentou com lápis e papel, logo descobrindo a maneira mais eficiente de rotular os fios. Qual foi esse método? Será possível subir as escadas uma única vez?

4. Assumindo que um fósforo tem uma unidade de comprimento, é possível posicionar 12 fósforos formando um polígono com área inteira. Área 9 é muito fácil. Também é fácil área 5. Descubra se é possível usar todos os 12 fósforos para obter um polígono de área 4.

TEOREMA DE PITÁGORAS

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15


Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15



Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

EXERCÍCIOS SOBRE O TEOREMA DE PITÁGORAS

Questão 01

Nos telhados de dois edifícios encontram-se duas pombas.

É atirado um pouco de pão para o chão: ambas as pombas se lançam sobre o pão à mesma velocidade e ambas chegam no mesmo instante junto do pão.

a) A que distância do edifício B caiu o pão?

b) Qual a altura do edifício A?

Questão 02

(PUCSP) Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exatamente 72 milhas ao sul de X e que, a partir de então, Y navegou em linha reta para o leste, enquanto que X navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas, era

a) 45

b) 48

c) 50

d) 55

e) 58

Questão 03

Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem m e 3m, respectivamente, calcule o cosseno do ângulo oposto ao menor lado.

Questão 04

A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de:

a) 12 m

b) 30 m

c) 15 m

d) 17 m

e) 20 m

Questão 05

(Uflavras 2000) Qual deve ser a altitude do balão para que sua distância ao topo do prédio seja de 10 km?

a) 6 km

b) 6.200 m

c) 11.200 m

d) 4 km

e) 5 km

Regras do Xadrez

O jogo de Xadrez é jogado por dois jogadores. Um jogador joga com as peças brancas o outro com as pretas. Cada um inicialmente tem dezasseis peças: Um Rei, uma Dama, duas Torres, dois Bispos e oito Peões.

Introdução

O posicionamento inicial das peças assim como o formato do tabuleiro é como o que se mostra na figura seguinte:

As peças na linha de baixo e da esquerda para a direita são: Torre, Cavalo, Bispo, Dama, Rei, Bispo, Cavalo e Torre.

Os jogadores movimentam alternadamente uma das suas peças, sendo sempre o jogador com as brancas o primeiro a começar. Um movimento consiste em pegar numa peça e coloca-la numa nova casa respeitando as regras de movimento. Só o Cavalo é que pode passar por cima de outras peças.

Existe um movimento especial denominado Roque em que um jogador pode movimentar duas peças simultaneamente.

Um jogador pode Capturar peças do adversário, para faze-lo tem de movimentar uma das suas peças para uma casa que contenha uma peça inimiga, respeitando as regras de movimento. A peça capturada é retirada do tabuleiro. (A captura não é obrigatória).

O jogo termina quando se atingir o mate ou uma situação de empate.

Regras de Movimento

Rei

O Rei pode mover-se uma casa na horizontal, vertical ou diagonal.

O Rei do lado a jogar nunca pode estar em xeque após a realização de uma jogada. Se não for possível evitar que o Rei esteja em cheque a posição passa a ser de mate e o lado do Rei que está a ser atacado perde.

Dama

A Dama pode movimentar-se um qualquer número de casas na horizontal, vertical ou qualquer em uma das diagonais.

Torre

A Torre pode movimentar-se um qualquer número de casas na horizontal ou vertical.

Bispo

O Bispo pode movimentar-se um qualquer número de casas em qualquer uma das diagonais.

Cavalo

O Cavalo movimenta-se em forma de L, e é a única peça que pode "saltar" por cima de outras.

O movimento do cavalo define-se como: duas casas numa direcção e outra na perpendicular.

Peão

O peão move-se de formas distintas quer se esteja a mover ou a capturar uma peça.

Quando um peão se move avança uma casa na vertical em direcção ao lado do adversário. Se ele ocupar a sua casa inicial pode avançar uma ou duas casas.

Para capturar o peão move-se uma casa na diagonal.

Tomada en-passant

Um movimento especial dos peões chama-se tomada en-passant. Nas três figuras de cima pode ver-se uma tomadaen-passant.Esta é possível quando um peão avança duas casas e quando simultaneamente um peão inimigo se encontra em posição de ataque à casa por onde o peão que se move passa. Nesse caso o peão atacante pode capturar o que se move movendo-se para a casa de passagem. Esta tomada só pode acontecer no lance seguinte ao movimento.

Promoção

Outro movimento característico dos peões é a promoção. Esta acontece quando um peão atinge a última linha, ou inversamente a primeira do adversário. Quando isso acontece o jogador tem de converter o Peão numa Dama, Torre, Bispo ou Cavalo.

Roque

O roque é um lance especial em que o Rei e a Torre se movimentam simultaneamente. Este só pode ser realizado uma vez por cada jogador.

Para o roque ser possível têm de se verificar as seguintes condições:

• O Rei que vai fazer o lance não se pode ter movido durante o jogo.
• A Torre vai fazer o lance não se pode ter movido durante o jogo.
• O Rei envolvido não está em xeque.
• Todas as casas entre o Rei e a Torre têm de estar desocupadas.
• O Rei não passa por uma casa atacada por uma peça inimiga durante o movimento.
• A casa de destino do Rei não está a ser atacada.
• O Rei e a Torre têm de ser do mesmo lado.

O movimento de roque consiste no Rei movimentar-se duas casas na direcção da Torre e a Torre passar para a casa adjacente ao Rei do lado oposto ao que se encontra inicialmente.

Xeque, Mate e Empate

Xeque

Quando o Rei está a ser atacado por uma peça inimiga diz-se que este está em xeque.

No final da jogada o Rei não pode ficar em cheque, se o jogador se enganar e deixar o Rei nessa situação este terá de refazer o lance, neste caso a regra piece tuche piece joue se possível tem de ser respeitada.

Caso não seja possível deixar o Rei sem estar em xeque a posição passa a ser de mate e o jogo termina com derrota para o lado que se move.

Mate

O jogador que está em xeque não pode evitar que o seu Rei deixe de o estar no final do seu lance. Esta situação é designada mate e implica a derrota para o lado do Rei que está em xeque vitória para o outro.

Empate

Quando o lado a mover não tem nenhuma jogada legal que possa realizar e não está em xeque o jogo termina com empate.

Outras Regras

Desistência e Proposta de Empate

Um jogador pode desistir a qualquer momento, o que implica a sua derrota.

Após realizar uma jogada um jogador pode propor empate. O adversário pode aceitar, o jogo termina com empate, ou recusar, o jogo continua regularmente.

Repetição de Posições

Quando a mesma posição é atingida três vezes com o mesmo lado a jogar, este pode optar por terminar o jogo com empate.

De notar que posições antes a após roque são consideradas diferente.

AGORA É COM VOCÊS....

acesse o site: www.joguexadrez.com

e bom divertimento.

EXERCÍCIOS DE PORCENTAGEM

1) Calcule: a) 25% de 200                      c) 6% de 900                     e) 20% de R$ 60,00 b) 15% de 300                      d) 8% de 50                       f) 80% de R$ 20,00 2) Resolva os problemas: (faça no caderno) a) De um total de 40 alunos, 10% foram reprovados. Quantos alunos foram reprovados? b) Numa caixa com 60 laranjas, 15% estragaram. Quantas foram as laranjas estragadas? c) Numa fábrica trabalham 80 funcionários. Se 35% são mulheres, quantas mulheres trabalham nessa fábrica? d) Fui ao mercado com R$ 600,00. Gastei 40% em latarias, 20% em material de limpeza e 30% em frutas. Quanto gastei em cada tipo de produto? Quanto dinheiro sobrou? e) Se numa sala de aula 15% dos alunos foram reprovados, qual a porcentagem dos aprovados? f) Num determinado dia de aula compareceram 92% dos alunos. Quantos por cento faltaram? g) Um time de futebol ganhou 45% das partidas que jogou e empatou 35%. Qual a porcentagem das partidas que perdeu? h) De um total de 60 alunos, 20% tiraram notas abaixo da média em uma prova. Quantos alunos tiraram notas acima da média? i) Uma conta de luz foi paga com atraso e sofreu uma multa de R$ 18,00, correspondente a 20% de seu valor. Qual era o valor dessa conta? j) Um ciclista tem que percorrer 4.000 km. Se já fez 65% do percurso, quantos quilômetros faltam? k) Em uma estante há 40 livros de Matemática, que correspondem a 20% do total de livros dessa estante. Determine quantos livros há no total. l) Numa classe de 35 alunos, 40% são meninos. Quantas são as meninas dessa classe?

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Fórmulas de áreas de figuras planas

Triângulo Qualquer

A = a.h/2

Triângulo Equilátero

A = l ². raiz quadrada de 3 / 4

Triângulo Retângulo

A = (cateto) . (cateto) / 2
A = b.c / 2

Triângulo Qualquer

A = ½ . a . b .Sen a

Quadrado

A = l²

Retângulo

A= a . b

Losango

A = D . d / 2

Paralelogramo

A = a . h

Trapézio

A = ( B + b ) . h / 2

Circulo

A = PI.r²

Setor Circular

A = PI. r² . a / 360º

Segmento Circular

A = PI. r² . a / 360º - 1 / 2 . r . r sen a

Unidade de área

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.

Área do Retângulo

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.
O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.
A = b × h

Área do quadrado

Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.
Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.
A = x²
Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5 unidades.
A = b×h
A = (8u)x(5u) = 40u²
No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certa unidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc...
Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.
Transformando as medidas em metros
Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de:
A = b×h
A = (1,20m)×(2m) = 2,40m²
Transformando as medidas em centímetros
Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por:
A = b×h
A = (120cm)×(200cm) = 24000cm²

Área do Paralelogramo

Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.
No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.

No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.
A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é, A=b×h. Demonstração da fórmula

Área do Triângulo

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2. Demonstração da fórmula

Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z] denota a raiz quadrada de z>0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s² garantindo que h=R[3]s/2.

Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:
A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²
Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.

Comparação de áreas entre triângulos semelhantes

Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.

Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Área de ABC Área de RST	=	a² r²	=	b² s²	=	c² t²

Área do losango

O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.

A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d1×d2)/2. Demonstração da fórmula

Área do trapézio

Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.

A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é, A=(b1+b2).h/2.

PROBLEMAS COM EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Quando vamos resolver um problema, devemos: 

• Ler com atenção o problema e levantar dados.
• Fazer a tradução do enunciado para a linguagem das equações, usando letras e símbolos.
• Resolver a equação estabelecida.
• Analisar o resultado obtido e dar a resposta conveniente.

Resolva os problemas:

1. A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos tem 60 anos.
2. O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1. Qual é esse número?
3. O triplo de um número, menos 25, é igual ao próprio número, mais 55. Qual é esse número?
4. O dobro de um número diminuído de quatro é igual a esse número aumentado de um. Qual é esse número?
5. Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é igual a cinco vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento?
6. Um número mais a sua metade é igual a 15. Qual é esse número?
7. A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 32. Qual é esse número?
8. O triplo de um número é igual a sua metade mais 10. Qual é esse número?
9. O dobro de um número, menos 10, é igual à sua metade, mais 50. Qual é esse número?
10. A diferença entre o triplo de um número e a metade desse número é 35. Qual é esse número?
11. Subtraindo cinco da terça parte de um número, obtém-se o resultado 15. Qual é esse número?
12. A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 25. Quantos objetos há na caixa?
13. Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 72 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?
14. A soma das idades de Carlos e Mário é 40 anos. A idade de Carlos é três quintos da idade de Mário. Qual a idade de Mário?
15. A diferença entre um número e os seus dois quintos é igual a 36. Qual é esse número?
16. A soma de dois números consecutivos é igual a 145. Quais são esses números?
17. Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel e a metade é gasta com a alimentação, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. Qual é o meu salário?
18. Lúcio comprou uma camisa que foi paga em 3 prestações. Na primeira prestação ele pagou a metade do valor da camisa, na segunda prestação, a terça parte e na última, R$ 2,00. Quanto ele pagou pela camisa?
19. A soma de um número com seu sucessor é 71. Qual é esse número?
20. A soma de três números consecutivos é igual a 54. Quais são esses números?
21. Um senhor tem coelhos e galinhas num total de 20 cabeças e 58 pés. Determine o número de coelhos e galinhas.
22. Eu tenho 30 cédulas, algumas de R$ 5,00 e outras de R$ 10,00. O valor total das cédulas é de R$ 250,00. Quantas cédulas de R$ 5,00 e quantas cédulas de R$ 10,00 eu tenho?
23. Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.
24. Marta comprou, para seus filhos, 9 calças com preços diferentes e gastou R$ 585,00. A calça mais cara custa o dobro da mais barata. Sabendo que ela comprou 4 calças das mais caras, qual o preço da calça mais cara e da mais barata?
25. O preço de três canetas e de duas lapiseiras é R$ 20,00. A lapiseira custa R$ 2,50 a mais que a caneta. Qual o preço de cada caneta e de cada lapiseira?
26. Carlos comprou um carro e pagou uma entrada e mais duas prestações. Carlos deu de entrada um quinto do preço total. Na primeira prestação, ele deu um terço do preço total e mais R$ 4.000,00 e na segunda pagou R$ 10.140,00. Qual o preço total do carro?
27. Uma loja comprou camisetas azuis, pretas e brancas. Ao todo, ela comprou 360 camisetas. O número de camisetas pretas é o dobro das azuis e o número de brancas é o triplo das pretas. Quantas camisas de cada cor foram compradas?
28. A soma de três números é igual a 18. O segundo número é igual à terça parte do primeiro e o terceiro é a diferença entre o primeiro e o segundo. Quais são os três números?
29. A metade de um número natural somada ao triplo do antecessor desse número resulta em 67. Qual é esse número?
30. Numa caixa, o número de moedas de 1 real é o triplo do número de moedas de 25 centavos. Se tirarmos 2 moedas de 25 centavos e 26 moedas de 1 real, o número de moedas de 1 real e de 25 centavos ficará igual. Qual a quantidade de moedas de 1 real e de 25 centavos?