FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números primos. Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os números 2 * 2 * 3 * 3. Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto entre outros polinômios.
As fatorações mais conhecidas são: fator comum em evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e trinômio soma e produto.

Fator comum em evidência 

Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:

No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.

x² + 2x → x * (x + 2)
x² : x = x
2x : x = 2

Veja mais exemplos de fatoração por evidência:

4x³ – 2x² → 2x² * (2x – 1)
4x³ : 2x² = 2x
2x : 2x = 1

16x² + 8 → 8 * (2x² + 1)
16x² : 8 = 2x²
8 : 8 = 1


Fatoração por Agrupamento 

Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:

2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.

2yx – x → x * (2y – 1)

–6y + 3 → –3 * (2y – 1)

2yx – x – 6y + 3 → x * (2y – 1) – 3 * (2y – 1) → (x – 3) * (2y – 1)


Observe mais exemplos:


bx – 2b + x – 2 → bx + x – 2b – 2 → x * (b + 1) – 2 * (b + 1) → (x – 2) * (b + 1)

10x² + 15xy + 4x + 6y → 10x² + 4x + 15xy + 6y → 2x * (5x + 2) + 3y * (5x + 2) → (2x + 3y) * ( 5x + 2)



Diferença entre dois quadrados 

Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:

4x² – 16 → (2x + 4) * (2x – 4) 
√4x² = 2x
√16 = 4

25x² – 100 → (5x + 10) * (5x – 10) 
√25x² = 5x
√100 = 10

81x4 – 144 → (9x² + 12) * (9x² – 12) 
√81x4 = 9x²
√144 = 12


400x² – 49 → (20x + 7) * (20x – 7) 
√400x² = 20x
√49 = 7



Trinômio quadrado perfeito

Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:

x² + 18x + 81 → (x + 9)²
√x² = x
√81 = 9
(x + 9)² = (x + 9) * (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81


4x² – 48x + 144 → (2x – 12)² 
√4x² = 2x
√144 = 12
(2x + 12)² = (2x + 12) * (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144



Trinômio Soma e Produto 

São as fatorações envolvendo trinômios do tipo x² + Sx + P, que podem ser fatorados e escritos da seguinte forma (x + a) * (x + b). Nessa situação temos que Soma = a + b e Produto = a * b. Observe:

x² + 10x + 16 → (x + 8) * (x + 2) 
Soma = 10
Produto = 16
Os números são 8 e 2, pois:
8 + 2 = 10
8 * 2 = 16

x² – 13x + 42 → (x – 6) * (x – 7) 
Soma = –13
Produto = 42
Os números são –6 e –7, pois:
– 6 – 7 = – 13
(–6) * (–7) = 42

x² + 3x – 10 → (x – 2) * (x + 5) 
Soma = 3
Produto = –10
Os números são 3 e –10, pois:
– 2 + 5 = 3
(–2) * 5 = – 10

x² – 2x – 63 → (x – 9) * (x + 7) 
Soma = –2
Produto = – 63
Os números são –9 e 7, pois:
– 9 + 7 = – 2
(–9) * 7 = – 63

Equações  - Definição

Definição: Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma ou mais letras que representem números, é denominada equação. Cada letra que representa este número desconhecido é chamada de variável ou incógnita.

A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1º membro da equação (ou igualdade).

A expressão matemática situada à direita do símbolo = é denominada 2º membro da igualdade (ou equação).

Durante nossas aulas, você aprendeu a resolver algumas equações bem simples. Portanto, é preciso que você saiba o significado de:

. equação

. incógnita de uma equação

. membros de uma equação

. termos de uma equação

A importância do estudo das equações está no fato de que elas facilitam a resolução de certos problemas. Vejamos:

EXEMPLO 1

Dois pacotes juntos pesam 22 kg . Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 6 kg a mais que o menor?

Já vimos que podemos representar quantidades desconhecidas usando a álgebra. Nesse caso, temos:

pacote menor = x

pacote maior = x + 6

Onde x representa o peso do pacote menor.

Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = 22

Efetuando as devidas equações:

x + (x + 6) = 22   Eliminar os parênteses

x + x + 6 = 22     Somar os termos semelhantes

2x + 6 = 22

2x + 6 - 6 = 22 - 6   Subtrair 6 nos dois membros

2x = 16

2x/2 = 16/2         Efetuar uma divisão por 2, nos dois membros

x = 8                   Desse modo, o peso do pacote menor é de 8 kg e do pacote maior é de 8 + 6 = 14 kg .

EXEMPLO 2

Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número somado com 6, descubra qual é esse número.

Um número: x

Quádruplo do número: 4x

Equação correspondente: 4x + 9 = x + 6

Resolução:

4x + 9 = x + 6

4x - x = 6 - 9    passar + 9 para o segundo membro (fica-9) e + x para o primeiro membro (fica - x).

3x = - 3            como a operação inversa de :3 é x3,temos: x = - 3/3

x = - 1              Portanto, o número procurado é -1.

A verificação da solução

A verificação da solução é tão importante quanto a própria resolução da equação. Pois ela nos dá a possibilidade de descobrir se cometemos algum erro de cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer a verificação, basta experimentar o valor encontrado na incógnita. Veja:

4x + 9 = x + 6 substituindo x por - 1

4 (-1) + 9 = (- 1) + 6

- 4 + 9 = - 1 + 6

5 = 5

Logo, x = -1 é um valor que torna a equação 4x - 9 = x – 6 verdadeira.Experimente substituir x por qualquer outro valor, e veja o que acontece.

A raiz de uma equação

A solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, é chamado, pela matemática, de raiz da equação.

x = - 1 é raiz da equação 4x + 9 = x + 6

EXEMPLO 3

Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00?

Equacionando o problema:

Preço da cadeira: x

Preço da estante: 3x

Equação correspondente: x + 3x = 64

Resolução:

x + 3x = 64

4x = 64 _ x = 64/4 = 16 _ x = 16

Verificação da raiz:

16 + 3 . 16 = 64

16 + 48 = 64

64 = 64

A estante custa R$ 48,00.

  

Exercício 1

Resolva as equações:

a) 4x + 8 = 3x - 5

b) 3a - 4 = a + 1

c) 9y - 11 = - 2

d) 5x - 1 = 8x + 5

Exercício 2

Verifique se - 7 é raiz da equação: 2(x + 4) – x/3 = x - 1

Exercício 3

Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação: 2x - 3 = 16

Exercício 4

Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos mais nova?

Exercício 5

Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?

Exercício 6

Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 3?

Exercício 7

Qual é o número que somado com 5 é igual a 11?

Exercício 8

Qual é o número que somado com 6 é igual a - 13?

Exercício 9

Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto. Essa produção representou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior?