Equações  - Definição

Definição: Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma ou mais letras que representem números, é denominada equação. Cada letra que representa este número desconhecido é chamada de variável ou incógnita.

A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1º membro da equação (ou igualdade).

A expressão matemática situada à direita do símbolo = é denominada 2º membro da igualdade (ou equação).

Durante nossas aulas, você aprendeu a resolver algumas equações bem simples. Portanto, é preciso que você saiba o significado de:

. equação

. incógnita de uma equação

. membros de uma equação

. termos de uma equação

A importância do estudo das equações está no fato de que elas facilitam a resolução de certos problemas. Vejamos:

EXEMPLO 1

Dois pacotes juntos pesam 22 kg . Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 6 kg a mais que o menor?

Já vimos que podemos representar quantidades desconhecidas usando a álgebra. Nesse caso, temos:

pacote menor = x

pacote maior = x + 6

Onde x representa o peso do pacote menor.

Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = 22

Efetuando as devidas equações:

x + (x + 6) = 22   Eliminar os parênteses

x + x + 6 = 22     Somar os termos semelhantes

2x + 6 = 22

2x + 6 - 6 = 22 - 6   Subtrair 6 nos dois membros

2x = 16

2x/2 = 16/2         Efetuar uma divisão por 2, nos dois membros

x = 8                   Desse modo, o peso do pacote menor é de 8 kg e do pacote maior é de 8 + 6 = 14 kg .

EXEMPLO 2

Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número somado com 6, descubra qual é esse número.

Um número: x

Quádruplo do número: 4x

Equação correspondente: 4x + 9 = x + 6

Resolução:

4x + 9 = x + 6

4x - x = 6 - 9    passar + 9 para o segundo membro (fica-9) e + x para o primeiro membro (fica - x).

3x = - 3            como a operação inversa de :3 é x3,temos: x = - 3/3

x = - 1              Portanto, o número procurado é -1.

A verificação da solução

A verificação da solução é tão importante quanto a própria resolução da equação. Pois ela nos dá a possibilidade de descobrir se cometemos algum erro de cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer a verificação, basta experimentar o valor encontrado na incógnita. Veja:

4x + 9 = x + 6 substituindo x por - 1

4 (-1) + 9 = (- 1) + 6

- 4 + 9 = - 1 + 6

5 = 5

Logo, x = -1 é um valor que torna a equação 4x - 9 = x – 6 verdadeira.Experimente substituir x por qualquer outro valor, e veja o que acontece.

A raiz de uma equação

A solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, é chamado, pela matemática, de raiz da equação.

x = - 1 é raiz da equação 4x + 9 = x + 6

EXEMPLO 3

Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00?

Equacionando o problema:

Preço da cadeira: x

Preço da estante: 3x

Equação correspondente: x + 3x = 64

Resolução:

x + 3x = 64

4x = 64 _ x = 64/4 = 16 _ x = 16

Verificação da raiz:

16 + 3 . 16 = 64

16 + 48 = 64

64 = 64

A estante custa R$ 48,00.

  

Exercício 1

Resolva as equações:

a) 4x + 8 = 3x - 5

b) 3a - 4 = a + 1

c) 9y - 11 = - 2

d) 5x - 1 = 8x + 5

Exercício 2

Verifique se - 7 é raiz da equação: 2(x + 4) – x/3 = x - 1

Exercício 3

Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação: 2x - 3 = 16

Exercício 4

Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos mais nova?

Exercício 5

Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?

Exercício 6

Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 3?

Exercício 7

Qual é o número que somado com 5 é igual a 11?

Exercício 8

Qual é o número que somado com 6 é igual a - 13?

Exercício 9

Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto. Essa produção representou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior?