CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

 Unidade imaginária

            Exemplos:

            1º) Determine as raízes imaginárias da equação 3x² + 75 = 0

            2º) Encontre as raízes imaginárias da equação x² - 8x + 25 = 0

Exercícios:

01. Encontre as raízes imaginárias da equação:

      a) x² + 4 = 0                                   b) x² + 25 = 0                                    c) 3x² + 16 = 0

02. Determinar as raízes da equação:

      a)  x² - 2x + 2 = 0                           b) 2x² – 6x + 9 = 0                            c) 3x² – 4x + 25 = 0

      d) x² + 2x + 5 = 0                           e) 3t² + t + 1 = 0                                f) x² – 6x + 10 = 0

Número complexo

            Exemplos:

            1º) Selecionar os elementos de z = 5 – i

            2º) Selecionar os elementos de z = 0 + 7i

            3º) Selecionar os elementos de z = -3 + 0i

            4º) Determine o valor de x, de modo que o número complexo z = 2x + 5 + 7i seja um número imaginário puro.  

            5º) Obtenha o valor de x, de modo que o número complexo z = 3 – (-6x² -7x + 3)i seja um número real.

Exercícios:

03. Para que valor de x o número complexo z = 2 + (x² -1)i é real? 

04. Determinar o valor de x, de modo que z = 6 + (2x – 4)i seja real: 

05. Para qual valor de k o número complexo z = 3i + k² + ki – 9 é imaginário puro?   

06. Determine o valor de x, de modo que o número complexo seja um número real:

      a) z = 4 + (8x – 24)i                                 b) z = 1 + (2x – 1)i

07. Obtenha o valor de y, de modo que o número complexo z = (6y + 30) + 2i seja um número imaginário puro.              

Oposto de um número complexo

            Exemplos:

            1º) Escrever o oposto do número complexo 2 – 3i.

            2º) O oposto do número complexo -1 – i é?

            3º) Dado o complexo z = 1 + 2i, então –z será?

Conjugado de um número complexo 

            Exemplos:

            1º) Dê o conjugado do número complexo z = -4 + 3i.

            2º) Sendo z = 5 – 2i, então o valor do seu conjugado é?

            3º) O conjugado de z = 7 é?

Exercícios:

08. Escrever o conjugado de z = 2 – 7i.

09. Escrever o conjugado de z = 5 + 3i.

10. Dado z = 3 encontre o conjugado.

11.  Encontre o conjugado de i.

12. Sabendo que z = -5i encontre o conjugado.

Igualdade de dois números complexos

           Exemplos:

           1º) Para que valores de x e y são iguais os complexos z₁ = (2x + 3) + (y -5)i e z₂ = 3 + 4i?

                 2º) Encontre x e y na igualdade (x + 3y) + (5x – y)i = -3 + 17i.

Exercícios:

08. Dados os números complexos z₁ = (x – y) + 2i   e   z₂ = 2 + 2yi, calcule os valores de x e y de  modo que z₁ = z₂.           

09. Determinar os números reais x e y tais que (2x + 2i) + (3 + yi) = 5 + 7i.       

10. Encontre os números reais x e y de modo que:

      a) 2x – y + (x + y)i = 7 + 8i                                

      b) x² - 8 + (y + 2x)i = 1 + 11i                             

      c) (3x + 4yi) + (5 + 6i) = 11 + 18i                      

Operações com números complexos

Adição/Propriedades

              Exemplos:

              1º) Sendo z₁ = 3 + 2i e z₂ = 4 + 5i, calcule z₁ + z_2.

                   2º) Sendo z₁ = 7 - 4i e z₂ = -5 + i,  calcule z₁ + z_2.

Exercícios:

11. Sendo z₁ = 4 + 2i e z₂ = 3 + 6i, tem-se que z₁ + z₂ é igual a?                             

12. Sendo z₁ = 3 + 4i e z₂ = -9i, tem-se que z₁ + z₂ é igual a?                                 

13. Calcule (3 + 2i) + (5 + 7i).

14. Resolva (-2 + 3i) + (-3 – i)

15. Considerando que z₁ = 2 + 3i e z₂ = 1 - 4i, tem-se que z₁ + z₂ é igual a?            

Subtração

              Exemplos:

              1º) Sendo z₁ = 7 + 5i e z₂ = 3 – 4i, calcule z₁ - z_2.

              2º) Efetue (3 – 2i) + (5 – 5i) – (-7 + 3i).

Exercícios:

16. Considerando que z₁ = 2 + 3i e z₂ = 1 - 4i, tem-se que z₁ - z₂ é igual a?             

17. Efetue (3 – 2i) - (1 + 3i)                                                                                      

18. Sendo z₁ = -8 + i e z₂ = 4 - 10i, tem-se que z₁ - z₂ é igual a?                           

19. Efetue (-5 + 4i) - (7 - i) + (12 + 7i)

20. Efetue (5 - 3i) - (7i) + (8 – i) – (10 – i)              

Multiplicação/Propriedades

              Exemplos:

              1º) Sendo z₁ = 3 + 2i e z₂ = 5 + 6i, calcule z₁. z_2.

              2º) Efetue (-5 + 3i) (-5 - 3i).

              3º) Sendo w = 3 – 2i, encontre w².

Exercícios:

21. Efetue (8 – 2i).(4 + 5i)

22. Efetue (6 + i).(6 – i)                                                                                          

23. Efetue (8 – i).(-1 + i)

24. Efetue (2 + 3i).(2 - 3i)                                                                                       

25. Sendo z = 5 – 4i, calcule z².        

26. Calcule as seguintes potencias:

      a) i ³⁵                b) i ³⁵⁶                c) i ⁷³              d) i ¹⁴              e) i ¹⁹               f) i ¹⁶⁰¹

27. Calcular:

       a) (3 + i)²                     b) (3 – 2i)²                     c) (2 – i)²                     

INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA - EXERCÍCIOS

1.     A partir do desempenho em química demonstrado pelos alunos de uma turma, um professor elaborou a seguinte tabela, e os gráficos.

Desempenho	f	fr
Insuficiente	6	15%
Regular	10	25%
Bom	14	35%
Ótimo	10	25%
Total	40	100%

2.     O tráfico de animais no Brasil cresce a cada dia. O gráfico de barras a seguir revela quais são os animais silvestres brasileiros mais procurados e o preço deles, em dólar, no mercado internacional.

       Fonte: WWF e Renctas

Observando o gráfico acima, podemos concluir, que dos animais que se destacam, o _____________ é o mais barato e _______________ é o mais caro.

3.     O gráfico abaixo apresenta o número de aparelhos celulares vendidos mundialmente no ano de 2000 e 2001.

Fonte: Info, abril de 2002

De acordo com o gráfico, responda:

a)    Em que ano ocorreu a maior venda de celulares?

b)    Nesse período, a venda de celulares aumentou ou diminuiu?

4. Dada a tabela de freqüência e a taxa percentual, construa o gráfico em barras.

País	Milhões de Ovinos	fr
EUA	10	10%
Uruguai	15	15%
Peru	15	15%
Brasil	25	25%
Argentina	35	35%
	100	100%

5.     Uma pesquisa feita com 336 adolescentes de um condomínio, sendo 50% de cada sexo, revela alguns problemas de saúde. A soma dos dados percentuais ultrapassa 100%, pois cada adolescente entrevistado pôde apresentar mais de um problema.

a)     Quantas meninas foram entrevistadas nessa pesquisa?

b)     Quantos jovens são hipertensos?

c)     Quantos jovens têm problemas cardíacos na família?

d)     Com esses dados seria possível construir um gráfico de setores?

6. Imagine que se perguntou a 1000 pessoas se elas acreditavam em horóscopo. Dessas 1000 pessoas, 488 disseram acreditar, 292 disseram não acreditar, 120 disseram que tinham dúvidas e as restantes expressaram opiniões diversas. Faça um GRÁFICO DE BARRAS para apresentar esses dados.

EXERCÍCIOS - 9º ANO

1) Na figura ao lado, a distância da casa à estrada é 1,2km. a) Qual é a menor distância da árvore à caixad’água? b) Qual é a menor distância da casa à árvore? c) Qual é a menor distância da casa à caixa d’água?

2) A chácara de ângela tem a forma de um triângulo retângulo e as dimensões indicadas na figura. Qual a distância entre o portão e o poço?

3) Um cateto de um triângulo retângulo tem o dobro da medida do outro cateto. Encontre a razão entre o maior e o menor dos segmentos determinados pela altura sobre a hipotenusa.

4) No triângulo EMA suponha que MA = 3cm, AE=4cm e ME=5cm. Calcule a medida x (dica: primeiro calcule IA, depois EI, depois IM ...)

5) Em um triângulo retângulo, um cateto mede 10cm e sua projeção sobre a hipotenusa mede 5 cm. Nessas condições, determine a medida:

a) da hipotenusa

b) do outro cateto

c) da altura relativa à hipotenusa.

6) A figura representa a vista frontal de uma casa. Determine as medidas x, y e h das dimensões do telhado dessa casa.

7) Em um triângulo retângulo, os catetos medem 7cm e 24 cm. Determine a medida da:

a) hipotenusa

b) altura relativa à hipotenusa.

8) Em um mapa, as cidades A, B e C são os vértices de um triângulo retângulo e o ângulo reto está em A. A estrada AB tem 80 km e a estrada BC tem 100 km. Um rio impede a construção de uma estrada que ligue diretamente a cidade A com a cidade C. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo de A e perpendicular à estrada BC, para que ela seja a mais curta possível. Qual será o comprimento da estrada que será construída?

9) Em um triângulo retângulo ABC, AH é a altura relativa ao lado BC, o cateto AB mede 15 cm e o segmento HC mede 16 cm. Determine a medida x da hipotenusa do triângulo ABC.

10) Em um triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm e 8 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa desse triângulo.

11) Determine a área de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos  mede 4 cm.

12) As medidas, em centímetros, dos catetos de um triângulo retângulo são expressas por 2x + 3 e x – 4 e a hipotenusa, por 3x – 11. Qual é o perímetro desse triângulo?

13) Num triângulo retângulo, um dos catetos mede 24 cm e a sua projeção sobre a hipotenusa mede 14,4 cm. Determine:

a) a medida da hipotenusa

b) a medida do outro cateto

c) a medida da altura relativa à hipotenusa.

ATIVIDADES AVALIATIVAS 7º ANO

O objetivo destes exercícios é de orienta-lo quanto a tópicos de grande importância para a série seguinte. A leitura, interpretação, formalização e execução algébrica é de grande importância para um bom desenvolvimento na próxima série. Os conteúdos abordados serão: equações,  problemas, proporcionalidade (regra de três), divisão em partes diretamente ou inversamente proporcionais, porcentagem, ângulos e polígonos.

1. Resolva as equações:

a)      7x – 6 = 3 – 5x

b)      4x – 15 = 12 – 5x

c)      4 ( x – 5 ) = 3 ( x – 2 )

d)     3n + 11 = 2 ( n – 7 )

e)      3 ( x – 14 ) = 7 ( x – 18 )

f)       9x – 3 – 4x = 8x – 7 + x

g)      6 ( 5x – 2 ) – 5 ( 6x – 5 ) =  4 ( 9 – 2x ) + 1

h)      x + x = 10

2    3

i)        x + 1 =  x

3    6     2

j)        3x – 1 -  4x – 1 = 0

          4            3

k)      3 . (x – 1) – 2 . (x + 3) + 5 . (2 – x) = -7

l)        3 . (2 – 4 . (x – 1) – 3) + 2 . (x – 1) = 0

m)    1 – (2 – x) = x + 4

           3           5

2. O dobro do meu dinheiro mais R$35,00 é igual a R$89,00. Quanto possuo?

3.      Raul tem o triplo de figurinhas do que eu tenho. Juntos temos 52 figurinhas. Quantas figurinhas tem Raul?

4.      A soma de dois números é 36. O maior vale 4 a mais que o menor. Quais são os números?

5.      No quadro foram gastos 2,68m de moldura. A largura tem 18,0cm a mais que a altura. Quais são as medidas do quadro?

6.      Quando Isabela nasceu, seu pai tinha 37 anos. Hoje, as idades dos dois somam 61 anos. Qual é a idade de Isabela hoje?

7.      Um frango e um coelho custam, juntos R$8,20. O coelho é R$2,40 mais caro. Quanto custa o coelho?

8.      Quando as gêmeas Daniela e Adriana nasceram, Guilherme estava com 8 anos. Hoje, a soma das 3 idades é 53. Quantos anos tem Guilherme?

9.      Padrinho Afonso dividiu R$100,00 por seus dois afilhados. O mais velho recebeu o triplo do outro. Quanto recebeu cada um?

10.  Os alunos inscritos para um exame eram 216. As meninas eram o dobro dos meninos. Quantas eram as meninas?

11.  Reparti 28 bananas entre três meninos de modo que o 1º receba o dobro do 2º e este receba o dobro do 3º.

12.  Bárbara tem o dobro de figurinhas que Ana Paula. Ana Luiza tem tanto quanto as duas juntas. No total são 78 figurinhas. Quanto tem Ana Luiza?

13.  A biblioteca vai ser transferida para a outra sala e você vai ter que ajudar. Com caixas para 30 livros, serão necessárias 85 caixas. Se forem utilizadas caixas de 34 livros, quantas delas serão necessárias?

14.  Dona Joana digita 75 palavras em 3 minutos no computador. Nesse ritmo, quantas palavras digitará por hora?

15.  Doze prensas fazem 550 panelas de alumínio por hora. Em quanto tempo, 36 prensas farão as 550 panelas?

16.  Fiz 54 pontos na 1ª fase da Fuvest num total de 72. Se fossem 100 questões, que pontuação daria, mantendo a mesma média?

17.  Sete tratores levam 36 dias para consertar a estrada entre Vacaria e Nova Prata. Porém é preciso terminar o serviço em 4 semanas. Quantos tratores seriam necessários?

18.  Com um fardo de 60kg de algodão, faz-se 54m de tecido. Quantos metros dão 148kg de algodão?

19.  De Sobral a Iguatu, são 8 horas de viagem percorrendo 60km/h. Qual deve ser a velocidade média para percorrer o mesmo trecho em 5 horas?

20.  Quarenta quilogramas de mandioca dão 28 kg de farinha. Quantos quilos de mandioca devo colher para fazer 60kg de farinha?

21.  Quinze giros de uma engrenagem fazem 48 giros da outra menor. Quantos giros dará uma engrenagem menor se a maior der 195 giros?

22.  Um elevador pode carregar até 9 pessoas de 70kg. Quantas pessoas de 63kg o elevador pode carregar de uma vez?

23.  Determine a medida dos ângulos de :

a)      um triângulo cujos ângulos internos medem  3x; 2x + 5 e 5x + 15.

b)      um quadrilátero cujos ângulos internos medem 2x – 5; 6x + 2; 3x + 8 e 4x +10

     

24.Na minha lanchonete preferida há um sanduíche que custa R$12,40. Já me disseram que esse preço vai aumentar. Dê o novo preço se:

a)      o aumento for de 10 %                                           c) o aumento for de 25 %     

b)      o  desconto for de 5 %                                            d) o desconto for de 23%

25.Numa sala em que 75% dos alunos são meninos, estudam apenas 7 meninas. Quantos alunos há na classe?

     26.  Um automóvel faz certo percurso em 4,5 horas com velocidade média de 80 km/h.

            a) Se a velocidade média fosse de 90 km/h, esse mesmo percurso seria feito em quanto  

                 tempo?

            b) Desejando fazer o mesmo percurso em 5 horas, qual deverá ser a velocidade média do  

                automóvel?

 

    27. Paulo venceu uma competição de ciclismo. À velocidade de 9,6 km/h , ele fez o     

          percurso em 1,5 hora. O segundo colocado demorou 2 horas para fazer o percurso. Qual foi a    

          velocidade  do segundo colocado?

28. Duas piscinas têm mesma largura e mesma profundidade, mas comprimentos diferentes. Na piscina   

      que  em 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe nela é de 45 000 L. Quantos litros de

      água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento?

29.   Com a velocidade de 75km/h, um ônibus faz um percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?

30.   Pablo tem 64 kg de massa e Rosa 80 kg. Numa gangorra, Pablo senta-se a 1,6m do centro de apoio. Para que a gangorra fique em equilíbrio, a que distância do centro Rosa deve sentar-se?

31.  Calcule:

    a) 1% de R$350,00.                       b) 4% de R$35,00

    c) 10% de 1400eleitores                d) 15% de 1400 eleitores

    e) 20% de 3450 litros de água       f)  25% de 48 carros

32.  O dono de um supermercado constatou um crescimento de 300% na venda de um certo produto ( por semana), após a veiculação de uma boa propaganda sobre ele. Se antes ele vendia 40 unidades por semana, quanto desse produto ele vende agora por semana?

33.  Na minha sala de aula, 25% da turma correspondem a 11 alunos. Quantos somos nessa sala de aula?

34.  Eu tenho 80% do que preciso para comprar uma TV. Qual é o preço dessa TV, sabendo que tenho R$760,00?

35.   Um par de sapatos que custava R$98,00 sofreu um reajuste de 12% no seu preço. Qual é o novo preço desse sapato?

36.  Uma padaria teve um aumento de 20% na sua produção diária de pães. Sabendo que agora ela produz 1500 pães por dia, calcule o número de pães que era produzido antes desse aumento.

37.  Flávio pesava, antes de fazer regime 106,8 kg.  Nos três primeiros meses de regime, ele perdeu 21,7 kg. Considerando que Flávio deveria pesar 73 kg, Quantos quilogramas ele ainda deverá perder?

38.  Observe a ilustração abaixo e responda as questões

    

a)      Quantas crianças fazem parte da turma de Roberto?

b)      Qual é o percentual de:

·         meninos?    meninas?

·         alunos com cabelo preto?

·         alunos louros?

·         alunos ruivos?

39.  Luciana trabalha em uma loja de móveis. Seu salário fixo é de R$1500,00 e ainda ganha 1,5% sobre o 

     valor de cada móvel que vende. Luciana vendeu um sofá por R$8200,00. Quanto ganhou com essa

     venda?

40.   Um investidor possuía R$ 50 000,00. Ele aplicou 20% desse dinheiro num investimento que rendia juro simples à taxa de 4% ao mês,durante 3 meses. O restante ele aplicou em outro investimento que rende juros compostos à taxa de 3% ao mês, pelo mesmo período. Calcule o montante desse investidor ao final do trimestre.

41.   Sandra fez uma aplicação de R$ 40 000,00, a juro simples de 1,8% a,.m., e obteve um montante de R$ 43 600,00. Quanto tempo durou essa aplicação?

42.  Flávio emprestou a Júlio R$ 1 000 000,00,  à taxa de juro simples de 21,5% a.a, pelo prazo de 1 ano. Porém, antes do encerramento do prazo, no fim do nono mês, Júlio saldou a dívida. Qual o total de juros pago por Júlio?

43.  Para a venda de um computador, o cartaz anuncia:

R$ 2.700,00 À VISTA

OU 18 X R$ 204,00

            Quanto por cento pagará a mais quem comprar a prazo?

44.   Uma bicicleta que custava R$ 150,00 agora está sendo vendida com 40% de desconto. Qual foi o desconto? Qual o preço atual da bicicleta?

 45. Antonio, João e Pedro trabalham na mesma empresa há 8, 6 e 2 anos, respectivamente. A empresa distribuiu uma gratificação de R$60 000,00 para esses três funcionários em partes diretamente proporcionais ao tempo de serviço de cada um. Quantos reais Pedro recebeu de gratificação?

  46. Vamos dividir a herança de 136 mil de um parente em partes inversamente proporcionais a idade dos  

sobrinhos, que é 2, 4 e 6 anos Quanto irá receber cada um ?

47. Marta vai depositar na poupança  1750 reais aos filhos em partes inversamente proporcionais à idade de seus filhos que possuem 15, 10 e 8 anos. Que parte caberá a cada um ?