REVISÃO E EXERCÍCIOS - PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

O QUE SIGNIFICA FATORAR?

Fatorar significa transformar em produto

FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou monômios e polinômios .

A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidencia. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.

1) FATOR COMUM

Vamos fatorar a expressão ax + bx + cx

Ax + bx + cx = x . (a + b + c)

O x é fator comum e foi colocado em evidência.

Exemplos

Vamos fatorar as expressões

1) 3x + 3y = 3 (x + y)

2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2)

3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a)

EXERCÍCIOS

1) Fatore as expressões:

a) 4x + 4y =

b) 7a – 7b = 

c) 5x – 5 = 

d) ax – ay = 

e) y² + 6y = 

f) 6x² - 4a = 

g) 4x⁵ - 7x² = 

h) m⁷ - m³ = 

i) a³ + a⁶ = 

j) x² + 13x =
k) 5m³ - m² =

l) x⁵⁰ + x⁵¹ =

m) 8x⁶ - 12x³ =

n) 15x³ - 21x² =

o) 14x² + 42x =

p) x²y + xy² =

2) Fatore as expressões:

a) 2a – 2m + 2n = 

b) 5a + 20x + 10 = 

c) 4 – 8x – 16y = 

d) 55m + 33n = 

e) 35ax – 42ay = 

f) 7am – 7ax -7an =  

g) 5a²x – 5a²m – 10a² = 

h) 2ax + 2ay – 2axy = 

3) Fatore as expressões:

a) 15x⁷ - 3ax⁴ =

b) x⁷ + x⁸ + x⁹ =

c) a⁵ + a³ - a² =

d) 6x³ -10x² + 4x⁴ =

e) 6x²y + 12xy – 9xyz =

f) a(x -3) + b(x -3) =

g) 9 ( m + n )- a( m –n)

2) AGRUPAMENTO

Vamos fatorar a expressão ax + bx + ay + by

ax + bx + ay + by

x( a + b) + y ( a+ b)

(a + b) .( x +y)

Observe o que foi feito:

Nos dois primeiros temos “x em evidencia” .Nos dois últimos fomos “y em evidência”. Finalmente “ (a + b) em evidência”. Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum

Exemplos:

Vamos fatorar as expressões:

1º exemplo

5ax + bx + 5ay + by

x.( 5a + b) + y (5a + b)

(x + y) (5a + b)

2º exemplo

x² + 3x + ax + 3a

x(x + 3) + a ( x + 3)

(x + 3) . ( x + a)

EXERCÍCIOS

1) Fatore as expressões:

a) 6x + 6y + ax + ay =

b) ax + ay + 7x + 7y=

c) 2a + 2n + ax +nx=

d) ax + 5bx + ay + 5by =

e) 3a – 3b + ax – bx =

f) 7ax – 7a + bx – b =

g) 2x – 2 + yx – y =

h) ax + a + bx + b =

2) Fatore as expressões:

a) m² + mx + mb + bx=

b) 3a² + 3 + ba² + b =

c) x³ + 3x² + 2x + 6 =

d) x³ + x² + x + 1 =

e) x³ - x² + x – 1 =

f) x³ + 2x² + xy + 2y =

g) x² + 2x + 5x + 10 =

h) x³ - 5x² + 4x – 20 =

3) DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

Vimos que : ( a+ b ) (a –b) = a² + b²

Sendo assim: a² + b²= ( a+ b ) (a –b)

Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes quadradas dos dois termos.

1º exemplo

x² - 49 = (x + 7) ( x – 7)

2º exemplo

9a² - 4b² = ( 3a + 2b) (3a – 2b)

Exercícios

1) Fatore as expressões:

a) a² - 25 =

b) x² - 1 =

c) a² - 4 =

d) 9 - x² =

e) x² - a² =

f) 1 - y² =

g) m² - n² =

h) a² - 64 =

2) Fatore as expressões

a) 4x² - 25 =

b) 1 – 49a² =

c) 25 – 9a² =

d) 9x² - 1 =

e) 4a² - 36 =

f) m² - 16n² =

g) 36a² - 4 =

h) 81 - x² =

i) 4x² - y²=

j) 16x⁴ - 9 =

k) 36x² - 4y² =

l) 16a² - 9x²y² =

m) 25x⁴ - y⁶ =

n) x⁴ - y⁴ =

4) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

Vimos que:

(a +b)² = a² + 2ab + b² Logo a² + 2ab + b² = (a +b)²

(a -b)² = a² - 2ab + b² Logo a² - 2ab + b² = (a -b)²

Observe nos exemplos a seguir que:

Os termos extremos fornecem raízes quadras exatas. Os termos do meio deve ser o dobro do produto das raízes. O resultado terá o sinal do termo do meio.

EXERCÍCIOS

1) Coloque na forma fatorada as expressões:

a) x² + 4x + 4 = 

b) x² - 4x + 4 = 

c) a²+ 2a + 1 = 

d) a² - 2a + 1 = 

e) x²- 8x + 16= 

f) a² + 6a + 9 = 

g) a² - 6a + 9 = 

h) 1 – 6a + 9a² = 

2) Fatore as expressões

a) m² -12m + 36=

b) a² + 14a + 49 =

c) 4 + 12x + 9x² =

d) 9a² - 12a + 4 =

e) 9x² - 6xy + y² =

f) x² + 20x + 100 =

g) a² - 12ab + 36b² =

h) 9 + 24a + 16a² =

i) 64a² - 80a + 25 =

j) a⁴ - 22a² + 121

l) 36 + 12xy +x²y²

m) y⁴ - 2y³ + 1