PROBLEMAS ENVOLVENDO NÚMEROS DECIMAIS

1-      A altura de uma casa era de 4,78 metros. Foi construído um 2º andar e a altura da casa passou a ser de 7,4 metros. De quantos metros a altura inicial da casa foi aumentada?

 

2-      O preço de um aparelho eletrodoméstico é de R$ 435,00. Se conseguir um desconto de R$ 63,75, quanto pagarei por esse aparelho?

3-      Veja, no quadro, as ofertas do dia de um supermercado:

-   Leite em pó integral: de R$ 2,70 por R$ 2,20    -  Iogurte natural batido: de R$ 2,50 por  R$ 2,09     -  Queijo Minas frescal: de R$ 3,80 por R$ 3,59

 

Se você comprar uma unidade de cada produto, quanto economizará?

4-      Um caminhão pode transportar, no máximo, 3.000 quilos de carga. Se ele deve levar 683,5 quilos de batata, 1.562,25 quilos de cebola, 428,75 quilos de alho e 1.050 quilos de tomate, vai ser possível transportar toda essa carga de uma única vez? Se houver excesso de carga, de quantos quilos será esse excesso?

5-      Roberto percorreu, de moto, 37,4 quilômetros. Outro motociclista, Zuza, percorreu uma vez e meia essa distância. Quantos quilômetros Zuza percorreu?

6-      No cofrinho de Izabel há algumas moedas de R$1,00,  25 moedas de R$ 0,50 e 11 moedas de R$ 0,25, totalizando R$ 22,25. Quantas medas de R$ 1,00 estão no cofre?

7-      Sabe-se que 23 quilogramas de café foram distribuídos em 92 pacotes iguais. Quantos quilogramas foram colocados em cada pacote?

8-      Uma barra de chocolate de 200 gramas é dividida em 18 porções iguais. Se Caio comer 9 dessas porções, quantos gramas de chocolate terá consumido?

9-      A milha é uma unidade usada para medir distâncias. Ela equivale a cerca de 1,6 quilômetro. Se cada carro percorrer 240 quilômetros, quantas milhas terá percorrido?

10-   Um ciclista percorreu 4,5 quilômetros de manhã. À tarde ele percorreu duas vezes e meia essa distância. Quantos quilômetros ele percorreu ao todo?

NOÇÕES DE PROBABILIDADE

1 – Introdução

Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral.
Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento.
Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.

Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos de eventos no espaço amostral U:
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}
B: sair um número primo e par: B = {2}
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}

Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova.
Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem.
Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável.

Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.

Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade.

Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais frequente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca".

2 – Conceito elementar de Probabilidade

Seja U um espaço amostral finito  e equiprovável e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula

p(A) = n(A) / n(U)

onde:
n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U.

Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver os seguintes exercícios introdutórios:

1.1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:

a) sair o número 3:
Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/6.

b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = 1/2.

c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 2/6 = 1/3.

d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto,p(A) = 2/6 = 1/3.

e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.

1.2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:

a) sair a soma 8
Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2.
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36.

b) sair a soma 12
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/36.

1.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:

a) sair bola azul
p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%

b) sair bola vermelha
p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%

c) sair bola amarela
p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%

Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um número elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais a distribuição do número de ocorrências se aproximará dos percentuais indicados.

3 – Propriedades

P₁: A probabilidade do evento impossível é nula.Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula.

P₂: A probabilidade do evento certo é igual a unidade. 
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.

P₃: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1]. 
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.

P₄: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade.Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U.
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).
Dividindo ambos os membros por n(U), vem:
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:
p(A) + p(A') = 1
Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.

P₅: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A Ç B)Observe que se A ÇB= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), então p(A U B) = p(A) + p(B).

Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ÇB)
Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definição de probabilidade, concluímos rapidamente a veracidade da fórmula acima.

Exemplo:
Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?

SOLUÇÃO:
Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos:
n(U) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.
n(U) = n(J) + N(P) – N(J ÇP) + 800
n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800
n(U) = 8600
Portanto, a probabilidade procurada será igual a:
p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser).

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Matriz transposta

Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-se transposta de A e indica-se por A^t a matriz que se obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. A operação de obtenção de uma matriz transposta de A é denominada transposição da matriz. Observe o exemplo:

Note que A é do tipo 3 x 2 e A^t é do tipo 2 x 3 e que, a matriz transposta , a primeira linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha à segunda coluna, também da matriz original.

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Assim, se A=(a_ij) e B=(b_ij) são matrizes do tipo m x n, então:

Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais

Solução:

Adição de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.

Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B.

Solução:

Propriedades da adição
Sendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q ∈ R, valem as propriedades:

- Comutativa: A+B = B+A
- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C
- Elemento neuto: A+O = O+A = A

Matriz oposta

Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma com A resulta na matriz nula. Exemplo:
Dada a matriz:

A oposta de A será

pois:

Subtração de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a matriz obtida subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.

Exercícios sobre operações com matrizes

1) Escreva a matriz A = (a_ij) do tipo 3x4 sabendo que a_ij = 2i – 3j.

2) Dada a matriz , calcule a₁₁ + a₂₁ – a₁₃ + 2a₂₂.

3) Dada a matriz C = , calcule 3a₃₁ – 5a₄₂.

4) Considere o sistema 

a) Escreva sob forma de matriz os valores numéricos que aparecem no sistema.

b) Escreva sob forma de matriz apenas os coeficientes das incógnitas.

c) Dê os tipos das matrizes do item a e do item b.

5) Uma loja vende sapatos femininos de três marcas X; Y; Z e tamanhos de 35 a 40. A loja possui no estoque 140 pares da marca X assim distribuídos:

Tamanho 35	30 pares
Tamanho 36	50 pares
Tamanho 37	25 pares
Tamanho 38	18 pares
Tamanho 39	10 pares
Tamanho 40	7 pares

    Analogamente, a loja possui, das marcas Y e Z, sapatos femininos assim distribuídos:

Tamanho	35	36	37	38	39	40
Quantidade da marca Y	8	7	9	28	10	8
Quantidade da marca Z	0	10	15	12	9	3

    a) Escreva sob forma de matriz todas as informações dadas.

    b) Quantos pares de sapato ela tem do tamanho que você usa?

    c) Qual é o tamanho que possui mais pares em estoque?

    d) Escreva em linguagem coloquial o significado dos elementos a₃₅ e a₂₂ da matriz do item a.

6) Escreva a matriz A = (a_ij) do tipo 3x4 sabendo que:

    a_ij = 2i – 3j se i = j e a_ij = 3i – 2j se i ¹ j.

7) Escreva a matriz diagonal de 4ª ordem tal que os elementos diferentes de zero satisfaçam à seguinte condição a_ij = i - 3j.

8) Qual é a soma de todos os termos da matriz identidade de 7ª ordem?

9) Se a soma de todos os termos de uma matriz identidade é 75, determine a ordem dessa matriz.

10) Uma matriz 3x4 pode ser uma matriz identidade? Justifique a sua resposta.

11) Dado o vetor podemos representá-lo por uma matriz coluna. Será que você consegue? Como?

12) Escreva a matriz coluna do tipo 7x1 tal que a_ij = 2i + 3j.

13) a) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que a_ij = 2i + 3j.

      b) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que a_ij = 3i + 2j.

14) O elemento a₃₁ do exercício 12 e o elemento a₁₃ do exercício 13a são iguais? Justifique sua resposta.

15) a) As matrizes encontradas nos exercícios 12 e 13a são uma transposta da outra?

      b) As matrizes encontradas nos exercícios 12 e 13b são uma transposta da outra?

      c) Justifique as suas respostas.

16) a) Determine a matriz A do tipo 3x2 sabendo que a_ij = (2i -3j)/2.

      b) De que tipo é a matriz A^t da matriz do item a?

      c) Determine a matriz A^t da matriz A do item a?

17) Verifique o que acontece quando determinamos a matriz transposta da transposta de uma matriz dada. Justifique sua resposta.

18) a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que a_ij = (i/3) + 3j.

      b) Determine a matriz transposta da obtida no item a.

      c) A que condição satisfazem os elementos da matriz obtida no item b?

19) a) Determine a matriz diagonal de ordem 5 tal que a_ij = i – j.

      b) De que tipo é a matriz encontrada no item a?

20) a) Determine a matriz quadrada de 4ª ordem tal que:

           a_ij = 0 quando i ¹ j e a_ij = i/j quando i = j.

       b) Determine o tipo de matriz encontrada no item a.

21) Dadas as matrizes  e  

      Determine x e y de modo que a matriz A seja igual à matriz B.

22) Calcule o valor de x para que sejam iguais as duas matrizes  e .

23) Calcule o valor de x, y e z de modo que as matrizes  e  sejam iguais.

24) Determine a matriz oposta da matriz identidade de 4ª ordem.

25) Verifique se a matriz  é oposta à matriz .

PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS DECIMAIS

Os problemas com números racionais absolutos são geralmente resolvidos da seguinte forma : 1°) Encontrando o valor de uma unidade fracionária 2°) obtendo o valor correspondente da fração solicitada exemplo Eu tenho 60 fichas, meu irmão tem ¾ dessa quantidade. Quantas fichas tem o meu irmão ? 60 x ¾ = 180/4 = 45 R: O meu irmão tem 45 fichas EXERCICIOS  1) Determine 2/3 de R$ 1200,00  2) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons.  3) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto medem 3/7 dessa peça ?  4) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros percorreu?  5) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos ¾ . Quantos quilômetros já foram percorridos?  6) Um livro tem 240 páginas., Você estudou 5/6 do livro. Quantas paginas você estudou?  7) Os 2/5 de um número correspondem a 80. Qual é esse número?  8) Os ¾ do que possuo equivalem a R$ 900,00. Quanto possuo?  9) Um time de futebol marcou 35 gols, correspondendo a 7/15 do total de gols do campeonato. Quantos gols foram marcados no campeonato?  10) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quanto é a capacidade desse reservatório?  11) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km, quantos quilômetros tem essa estrada? 12) Para revestir ¾ de uma parede foram empregados 150 azulejos. Quantos azulejos são necessários para revestir toda a parede?  13) De um total de 240 pessoas,1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas gostam de futebol? 14) Eu fiz uma viagem de 700 km. Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o restante de ônibus. Que distancia eu percorri de ônibus?  15) Numa prova de 40 questões um aluno errou ¼ da prova. Quantas questões ele acertou? 16) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa classe?

ESTATÍSTICA (RESUMO)

CONCEITO: é a ciência que se preocupa com a coleta, a organização, descrição (apresentação), análise e interpretação de dados experimentais e tem como objetivo fundamental o estudo de uma população.

Este estudo pode ser feito de duas maneiras:

• Investigando todos os elementos da população ou

• Por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da população.


POPULAÇÃO: é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum.

Divisão da população

- População Finita: apresenta um número limitado de elementos. É possível enumerar todos os elementos componentes.

Exemplo: Idade dos alunos do CEFA.

População: Todos os alunos do CEFA.

População Infinita: apresenta um número ilimitado de elementos. Não é possível enumerar todos os elementos componentes.

Exemplo:

Tipos de bactérias no corpo humano

População: Todas as bactérias existentes no corpo humano.

AMOSTRAGEM: é a coleta das informações de parte da população, chamada amostra mediante métodos adequados de seleção destas unidades.

AMOSTRA: é uma parcela representativa da população que É EXAMINADA com o propósito de tirarmos conclusões sobre essa população.

CENSO: É o exame completo de toda população.

. VARIÁVEL: é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno (ou observação, ou característica).

Para os fenômenos:

- sexo - dois resultados possíveis: masculino e feminino; (não pode ser medida: é um atributo)

- número de filhos tidos de um grupo de casais - resultados possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n;

- peso de pessoas adultas - resultados possíveis: 60 kg, 59,3 kg, 75,3 kg, 65,3 kg, ...; pode tomar um infinito número de valores num certo intervalo.

TIPOS DE VARIÁVEIS

a) Variável Qualitativa: quando seus valores são expressos pôr atributos ou qualidade.

Exemplos:

. População: Estudantes do CEFA.

Variáveis: sexo, vocação, escolaridade, religião.

b) Variável Quantitativa: quando seus valores são expressos pôr números. Esses números podem ser obtidos pôr um processo de contagem ou medição.

Exemplos:

. População: Todos os moradores de Planaltina.

Variáveis: número de filhos tidos, altura, idade.

. População: População do bairro Arapoanga.

Variáveis: número de quartos, área da casa em m2, número de moradores da casa.

FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICO

DEFINIÇÃO DO PROBLEMA: a primeira fase do trabalho estatístico consiste em uma definição ou formulação correta do problema a ser estudado e a seguir escolher a natureza dos dados.

Por exemplo: Qual o tipo de musica que os alunos do CEFA mais curtem?

PLANEJAMENTO: o problema está definido. Como resolvê-lo? Se através de amostra, esta deve ser significativa para que represente a população.

COLETA DOS DADOS: refere-se a obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com o objetivo determinado.

APURAÇÃO (ARMAZENAMENTO) DOS DADOS: através da apuração, têm-se a oportunidade de condensar os dados, de modo a obter um conjunto compacto de números, o qual possibilita distinguir melhor o comportamento do fenômeno na sua totalidade.

ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS: nessa etapa, o interesse maior consiste em tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema. A análise dos dados estatísticos está ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno

REGRAS DE ARREDONDAMENTO: de acordo com as Normas de Apresentação Tabular - 3ª edição/1993 - da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da seguinte maneira:

1. Se o número que vai ser arredondado for seguido de 0, 1, 2, 3 ou 4 ele deve ficar inalterado.

2. Se o número que vai ser arredondado for seguido de 5, 6, 7, 8 ou 9 ele deve ser acrescido de uma unidade.

PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS

GRÁFICOS EM CURVAS OU EM LINHAS: são usados para representar a evolução dos valores de uma variável num certo período.

GRÁFICOS EM COLUNAS OU BARRAS: é a representação de uma série estatística através de retângulos, dispostos em colunas (na vertical) ou em retângulos (na horizontal). Este tipo de gráfico representa praticamente qualquer série estatística.

GRÁFICO EM SETORES: é a representação gráfica de uma série estatística em um círculo de raio qualquer, pôr meio de setores com ângulos centrais proporcionais às ocorrências.

HISTOGRAMAS: são gráficos de superfícies utilizados para representar distribuições de frequências com dados agrupados em classes.

O histograma é composto por retângulos (denominados células), cada um deles representando um conjunto de valores próximos (as classes).

REPRESENTAÇÃO DOS DADOS (AMOSTRAIS OU POPULACIONAIS)

a. Dados brutos: são aqueles que não foram numericamente organizados, ou seja, estão na forma com que foram coletados.

Número de filhos de um grupo de 50 casais

2 3 0 2 1 1 1 3 2 5

6 1 1 4 0 1 5 6 0 2

1 4 1 3 1 7 6 2 0 1

3 1 3 5 7 1 3 1 1 0

3 0 4 1 2 2 1 2 3 2



b. Rol: é a organização dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente.

Número de filhos de um grupo de 50 casais

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7

MEDIDAS DE POSIÇAO (MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL)

As medidas de posição são chamadas de medidas de tendência central, devido à tendência de os dados observados se concentrarem em torno desses valores centrais que se localizam em torno do meio ou centro de uma distribuição.

As medidas (número-resumo) mais usadas para representar um conjunto de dados são a média, a moda e a mediana.

Média aritmética

Seja X uma variável que assume os valores x1, x2, x3 ,..., xn. A média aritmética simples de X, representada por x, é definida por:

           x1 + x2 + x3 + ... + xn
x = -------------------------------
                         n

Exemplo: A nota média anual do aluno.


Moda (Mo)

Também chamada de norma, valor dominante ou valor típico.

Defini-se a moda como o valor que ocorre com maior frequência em conjunto de dados.

Exemplo: Sexo dos alunos – Turma A – Escola Z

Sexo Frequência

Masculino 40

Feminino 60

Total 100



A moda é sexo feminino porque tem maior frequência.

Moda – para dados não agrupados

Primeiramente os dados devem ser ordenados para, em seguida, observar o valor que tem maior frequência.

Exemplo: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de dados:

1. X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8) ® Mo = 6 (0 valor mais frequente)

Esse conjunto é unimodal, pois apresenta apenas uma moda.

2. Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6) ® Mo = 2 e Mo = 4 (valores mais freqüentes)

Esse conjunto é bimodal, pois apresenta duas modas.

3. Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) ® Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4 (valores mais freqüentes)

Esse conjunto é plurimodal, pois apresenta mais de duas modas.

4. W = (1, 2, 3, 4, 5, 6) ® Esse conjunto é amodal porque não apresenta um valor predominante.



4. Mediana (Md)

É uma medida de posição cujo número divide um conjunto de dados em duas partes iguais. Por esse motivo, a mediana é considerada uma medida separatriz. Portanto, a mediana se localiza no centro de um conjunto de números ordenados segundo uma ordem de grandeza.

Mediana para dados não agrupados


a) O número de valores observados é impar


Exemplo: Considere o conjunto de dados:

X = (5, 2, 7, 10, 3, 4, 1)

1º) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente:

X = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10)

Md = 4

b) O número de valores observados é par


Exemplo: Considere o conjunto de dados:

X = (4, 3, 9, 8, 7, 2, 10, 6)

1º) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente:

X = (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10)

Md = 6,5

Exercícios

1) Em uma pesquisa realizada em uma escola, identificou-se os seguintes indicadores

a) idade
b) anos de estudo
c) ano de escolaridade
d) renda
e) sexo
f) local de estudo
g) conceito obtido na última prova de biologia
h) Quantidade de livros que possui

Das variáveis acima, quais são as quantitativas e quais são as qualitativas?


2) Considerando os conjuntos de dados:

a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6

b) 20, 9, 7, 2, 12, 7, 2, 15, 7

c) 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9

d) 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14

Calcule:

I. a média; II. a mediana; III. a moda.


3) As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.

Determine:

a) a nota média;

b) a nota mediana;

c) a nota modal.

4) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:

NOTAS                  2   3   4    5    6    7   8   9   10

Nº DE ALUNOS       1   3   6   10  13   8   5   3    1

Determine:

a) a nota média;

b) a nota mediana; 
c) a nota modal.