OPERAÇÕES COM MATRIZES

Matriz transposta

Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-se transposta de A e indica-se por A^t a matriz que se obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. A operação de obtenção de uma matriz transposta de A é denominada transposição da matriz. Observe o exemplo:

Note que A é do tipo 3 x 2 e A^t é do tipo 2 x 3 e que, a matriz transposta , a primeira linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha à segunda coluna, também da matriz original.

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Assim, se A=(a_ij) e B=(b_ij) são matrizes do tipo m x n, então:

Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais

Solução:

Adição de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.

Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B.

Solução:

Propriedades da adição
Sendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q ∈ R, valem as propriedades:

- Comutativa: A+B = B+A
- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C
- Elemento neuto: A+O = O+A = A

Matriz oposta

Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma com A resulta na matriz nula. Exemplo:
Dada a matriz:

A oposta de A será

pois:

Subtração de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a matriz obtida subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.

Exercícios sobre operações com matrizes

1) Escreva a matriz A = (a_ij) do tipo 3x4 sabendo que a_ij = 2i – 3j.

2) Dada a matriz , calcule a₁₁ + a₂₁ – a₁₃ + 2a₂₂.

3) Dada a matriz C = , calcule 3a₃₁ – 5a₄₂.

4) Considere o sistema 

a) Escreva sob forma de matriz os valores numéricos que aparecem no sistema.

b) Escreva sob forma de matriz apenas os coeficientes das incógnitas.

c) Dê os tipos das matrizes do item a e do item b.

5) Uma loja vende sapatos femininos de três marcas X; Y; Z e tamanhos de 35 a 40. A loja possui no estoque 140 pares da marca X assim distribuídos:

Tamanho 35	30 pares
Tamanho 36	50 pares
Tamanho 37	25 pares
Tamanho 38	18 pares
Tamanho 39	10 pares
Tamanho 40	7 pares

    Analogamente, a loja possui, das marcas Y e Z, sapatos femininos assim distribuídos:

Tamanho	35	36	37	38	39	40
Quantidade da marca Y	8	7	9	28	10	8
Quantidade da marca Z	0	10	15	12	9	3

    a) Escreva sob forma de matriz todas as informações dadas.

    b) Quantos pares de sapato ela tem do tamanho que você usa?

    c) Qual é o tamanho que possui mais pares em estoque?

    d) Escreva em linguagem coloquial o significado dos elementos a₃₅ e a₂₂ da matriz do item a.

6) Escreva a matriz A = (a_ij) do tipo 3x4 sabendo que:

    a_ij = 2i – 3j se i = j e a_ij = 3i – 2j se i ¹ j.

7) Escreva a matriz diagonal de 4ª ordem tal que os elementos diferentes de zero satisfaçam à seguinte condição a_ij = i - 3j.

8) Qual é a soma de todos os termos da matriz identidade de 7ª ordem?

9) Se a soma de todos os termos de uma matriz identidade é 75, determine a ordem dessa matriz.

10) Uma matriz 3x4 pode ser uma matriz identidade? Justifique a sua resposta.

11) Dado o vetor podemos representá-lo por uma matriz coluna. Será que você consegue? Como?

12) Escreva a matriz coluna do tipo 7x1 tal que a_ij = 2i + 3j.

13) a) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que a_ij = 2i + 3j.

      b) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que a_ij = 3i + 2j.

14) O elemento a₃₁ do exercício 12 e o elemento a₁₃ do exercício 13a são iguais? Justifique sua resposta.

15) a) As matrizes encontradas nos exercícios 12 e 13a são uma transposta da outra?

      b) As matrizes encontradas nos exercícios 12 e 13b são uma transposta da outra?

      c) Justifique as suas respostas.

16) a) Determine a matriz A do tipo 3x2 sabendo que a_ij = (2i -3j)/2.

      b) De que tipo é a matriz A^t da matriz do item a?

      c) Determine a matriz A^t da matriz A do item a?

17) Verifique o que acontece quando determinamos a matriz transposta da transposta de uma matriz dada. Justifique sua resposta.

18) a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que a_ij = (i/3) + 3j.

      b) Determine a matriz transposta da obtida no item a.

      c) A que condição satisfazem os elementos da matriz obtida no item b?

19) a) Determine a matriz diagonal de ordem 5 tal que a_ij = i – j.

      b) De que tipo é a matriz encontrada no item a?

20) a) Determine a matriz quadrada de 4ª ordem tal que:

           a_ij = 0 quando i ¹ j e a_ij = i/j quando i = j.

       b) Determine o tipo de matriz encontrada no item a.

21) Dadas as matrizes  e  

      Determine x e y de modo que a matriz A seja igual à matriz B.

22) Calcule o valor de x para que sejam iguais as duas matrizes  e .

23) Calcule o valor de x, y e z de modo que as matrizes  e  sejam iguais.

24) Determine a matriz oposta da matriz identidade de 4ª ordem.

25) Verifique se a matriz  é oposta à matriz .