ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Fórmulas de áreas de figuras planas

Triângulo Qualquer

A = a.h/2

Triângulo Equilátero

A = l ². raiz quadrada de 3 / 4

Triângulo Retângulo

A = (cateto) . (cateto) / 2
A = b.c / 2

Triângulo Qualquer

A = ½ . a . b .Sen a

Quadrado

A = l²

Retângulo

A= a . b

Losango

A = D . d / 2

Paralelogramo

A = a . h

Trapézio

A = ( B + b ) . h / 2

Circulo

A = PI.r²

Setor Circular

A = PI. r² . a / 360º

Segmento Circular

A = PI. r² . a / 360º - 1 / 2 . r . r sen a

Unidade de área

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.

Área do Retângulo

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.
O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.
A = b × h

Área do quadrado

Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.
Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.
A = x²
Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5 unidades.
A = b×h
A = (8u)x(5u) = 40u²
No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certa unidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc...
Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.
Transformando as medidas em metros
Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de:
A = b×h
A = (1,20m)×(2m) = 2,40m²
Transformando as medidas em centímetros
Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por:
A = b×h
A = (120cm)×(200cm) = 24000cm²

Área do Paralelogramo

Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.
No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.

No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.
A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é, A=b×h. Demonstração da fórmula

Área do Triângulo

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2. Demonstração da fórmula

Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z] denota a raiz quadrada de z>0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s² garantindo que h=R[3]s/2.

Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:
A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²
Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.

Comparação de áreas entre triângulos semelhantes

Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.

Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Área de ABC Área de RST	=	a² r²	=	b² s²	=	c² t²

Área do losango

O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.

A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d1×d2)/2. Demonstração da fórmula

Área do trapézio

Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.

A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é, A=(b1+b2).h/2.