RESOLVENDO PROBLEMAS

COMO RESOLVER PROBLEMAS SEGUNDO GEORGE POLYA

A base para muita pesquisa em resolução de problemas matemáticos pode ser encontrada nos escritos de Polya. Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, o grande matemático George Polya o dividiu em quatro etapas, que resumimos abaixo. Antes de passarmos a elas, é muito importante enfatizar que Polya nunca pretendeu que sua divisão implicasse que resolver problemas fosse um procedimento a ser decorado nem que funcionasse como uma poção mágica.

ROTEIRO PARA RESOLVER PROBLEMAS

1).- ENTENDA O PROBLEMA:

      Este princípio é evidente, mas às vezes, por sermos apressados ou por pressas que nos impõem de fora, colocamo-nos imediatamente a caminho. Quando lhe propuserem um problema, assegure-se de que entende os dados, as incógnitas e as condições que devem ser satisfeitas. Mesmo que ao princípio pareça melhor outro caminho, você ganhará tempo. O objetivo aqui é manter em mente o ponto onde se quer chegar.

• Primeiro, você.tem de entender o problema.
• Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições?
• É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes para determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou redundantes? Ou contraditórias?
• Faça uma figura. Outra se necessário. Introduza notação adequada.
• o    Separe as condições em partes.

2). CONSTRUA UMA ESTRATEGIA DE RESOLUÇÃO

Ache conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável. Use isso para "bolar" um plano ou estratégia de resolução do problema. Nesta fase do processo, você deve tentar reunir uma quantidade de possíveis modos de atacar o problema. É preciso que surjam muitas idéias, mesmo que de início possam parecer totalmente despropositadas. As idéias mais extravagantes podem depois vir a ser as melhores. Vale a pena expandirmos um pouco esses conselhos:

• Você já encontrou este problema ou algum parecido?
• Você conhece um problema semelhante? Você conhece teoremas ou fórmulas que possam ajudar?
• Olhe para a incógnita! E tente achar um problema familiar e que tenha uma incógnita semelhante
• Aqui está um problema relacionado com o seu e que você já sabe resolver. Você consegue aproveitá-lo? Você pode usar seu resultado? Ou seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar de modo a viabilizar esses objetivos?
• Você consegue enunciar o problema de uma outra maneira?
• Se você não consegue resolver o problema dado, tente resolver um problema parecido. Você consegue imaginar um caso particular mais acessível? Um caso mais geral e mais acessível? Você consegue resolver alguma parte do problema? Mantenha apenas parte das condições do problema e observe o que ocorre com a incógnita, como ela varia agora? Você consegue obter alguma coisa desde os dados? Você consegue imaginar outros dados capazes de produzir a incógnita? Você consegue alterar a incógnita ou os dados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem mais próximos? Talvez o problema seja complicado porque há muitos elementos. Por que você mesmo não o torna mais fácil. Tente resolver um problema parecido com menos elementos. Talvez com isso você tenha uma idéia para resolver o mais complicado. Começar pelo fácil torna fácil o difícil.
• Você está levando em conta todos os dados? E todas as condições?
• Faça um esquema. Muitas pessoas pensam melhor com imagens do que com palavras, ou seja, o pensamento durante uma investigação pode ser não-verbal, mas acompanhado de imagens sensoriais e até mesmo motoras.
• Suponha que não ... Onde isto o leva? Este é o raciocínio a que se costuma chamar de indireto ou por redução ao absurdo. São muitos os problemas que se podem tratar assim. Você pretende demonstrar que uma situação se comporta de determinada forma. Começa supondo que não se comporta assim e vai fazendo deduções e raciocinando corretamente e a cadeia de raciocínios o leva a uma conclusão contrária ao senso comum. Fica claro então que o seu ponto de partida estava incorreto e fica assim demonstrado o resultado.

o    Suponha o problema resolvido. Esta tática será especialmente útil nos problemas em que tenha que construir alguma figura, algum elemento que tenha de estar relacionado, de forma determinada pelas condições, com outros que são dados. Imagine o problema resolvido. E construindo de forma aproximada, a olho, como a coisa deve funcionar, terá oportunidade de explorar as relações entre os elementos dados e os que procura. Finalmente, ao aproximá-los, pode saltar a faísca que o faça ver claro como deve proceder a partir dos dados.

·         3).- EXECUTE A ESTRATÉGIA

Frequentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo, a maioria dos principiantes tendem a pular para essa etapa prematuramente, e acabam dando-se mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se enredando terrivelmente na execução.

• Execute a estratégia.
• Ao executar a estratégia, verifique cada passo. Você consegue mostrar claramente que cada um deles está correto?
• Escolha uma boa notação. Muitos problemas ficam imensamente complicados com uma notação inadequada e tornam-se transparentes quando tomamos eixos adequados, os nomes apropriados para os elementos.
• Se ao por em prática uma idéia lhe ocorrer outra totalmente desligada da primeira e que pensa poder lhe ajudar, não a despreze! Mas também não deixe desviar a atenção do que agora está a explorar.
• Não abandone facilmente uma idéia que lhe pareceu boa. Mas também não insista demais com uma só idéia. Se as coisas se complicarem, haverá provavelmente um outro caminho. Você tem que estar preparado para reconhecer que as suas virtualidades talvez fossem uma miragem que se torna mais clara à medida que a explora. Se vir que a idéia não o faz aproximar-se da solução, tente outra.

4).- REVISE

Resolveu o problema? Parabéns! Ou trabalhou horas a fio, acabou por não o resolver? Parabéns também! Se passou algum tempo interessado e tentando resolver o problema e decidiu pedir auxílio para ver como se resolve o problema, a experiência até pode ser mais satisfatória do que no primeiro caso. Muitas vezes aprende-se muito mais, e mais profundamente, com os problemas que se tentaram com interesse e persistência e não se resolveram, do que com os que se resolvem quase à primeira vista. Lembre-se: O erro pode ser instrutivo, e as pessoas que realmente pensam, aprendem tanto com os sucessos quanto com os insucessos. Seja como for, o que é preciso agora é que reflita um pouco sobre todo o processo, para que fique com uma idéia de quais foram as suas dificuldades, os becos sem saída em que se encontrou e porquê e como poderia proceder no futuro para resolver melhor outros problemas, parecidos ou não. Esta fase do processo pode ser a mais proveitosa de todas e a que mais vezes nos esquecemos de realizar.

• Examine a solução obtida. Examine o caminho que seguiu para obter a solução. Utilizou todos os dados? Satisfez todas as condições?
• Verifique o resultado e o argumento. Não se contente em obter a resposta por acaso, pois a  maior parte das vezes não terá tanta sorte.
• Você pode obter a solução de um outro modo?
• Qual a essência do problema e do método de resolução empregado? Em particular, você consegue usar o resultado, ou o método, em algum outro problema? Talvez você mesmo possa inventar outros problemas mais interessantes que se resolvam com os mesmos processos.

PROBLEMAS DESAFIOS

1. Quatro bolas do mesmo tamanho podem ser posicionadas de forma que qualquer duas delas se toquem. Cinco moedas iguais também. E seis cigarros? (Não vale dobrar nem quebrar os mesmos).

2. Dois barcos saem ao mesmo tempo de margens opostas de um rio bem largo, viajando em direção perpendicular às margens. Cada um trafega a velocidade constante, mas um é mais veloz do que o outro. Eles se cruzam a 720 metros de uma das margens. Chegando à margem oposta cada um deles pára por 10 minutos antes de começar a voltar, sempre com a mesma velocidade. Na viagem de volta eles se cruzam a 400 metros da outra margem. Qual é a largura do rio?

3. Um eletricista, trabalhando sozinho, encontra um problema intrigante. Na garagem de um edifício de 3 andares sem elevador ele encontra 11 extremidades de fios. Num buraco no topo do edifício descobre as outras extremidades dos mesmos fios. Seu objetivo é rotular as 22 extremidades com 11 rótulos de forma que as extremidades de um mesmo fio tenha rótulos iguais. Para cumprir sua tarefa ele pode fazer duas coisas: (1) por em curto circuito os fios na garagem ou no teto juntando extremidades; (2) testar por um circuito fechado por meio de testador de continuidade formado por uma bateria e uma campainha. A campainha toca quando o instrumento é acoplado às duas extremidades de um circuito contínuo formado por fios em série. Não querendo se exaurir subindo e descendo escadas desnecessariamente e sendo um apaixonado por Pesquisa Operacional, o eletricista sentou com lápis e papel, logo descobrindo a maneira mais eficiente de rotular os fios. Qual foi esse método? Será possível subir as escadas uma única vez?

4. Assumindo que um fósforo tem uma unidade de comprimento, é possível posicionar 12 fósforos formando um polígono com área inteira. Área 9 é muito fácil. Também é fácil área 5. Descubra se é possível usar todos os 12 fósforos para obter um polígono de área 4.