quinta-feira, 1 de novembro de 2012

OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS




OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS



 ADIÇÃO

1) Exemplo

17° 15´ 10"  + 30° 20´40"

17° 15´ 10"
30° 20´ 40"
-----------
47° 35´ 50"

2) Exemplo

13° 40´ +  30° 45´

13° 40´
30° 45´
--------
43° 85´ (simplificando) 44° 25´


EXERCÍCIOS

1) Calcule as somas:

a) 49° + 65° = (R:
b) 12° 25´ + 40° 13´ = (R:
c) 28° 12´ + 5 2° 40´ = (R:
d) 58°  + 17° 19´ = (R:
e) 41° 58´ +  16°  =  (R:
f) 25° 40´ + 16° 50´ =  (R:
g) 23° 35´ + 12° 45´ = (R:
h) 21° 15´40" + 7° 12´5" = (R:
i) 35° 10´50"  +  10° 25´20"  = (R:
j) 31° 45´50" + 13° 20´40"  = (R:
l) 3° 24´9" + 37° 11´33" = (R:
m) 35° 35´2" + 22° 24´58" = (R:



SUBTRAÇÃO

1) Exemplo

58° 40´ -  17° 10´ =

58° 40´
17° 10´
-------
41° 30´


2) Exemplo

80° - 42° 30´ =

80°
42° 30´
-------
37° 30´

EXERCÍCIOS

1) Calcule as diferenças:

a) 42° - 17° = (R:
b) 172° - 93° = (R:
c) 48° 50´ - 27° 10´ = ( R:
d) 42° 35´  -  13° 15´ = (R:
e) 70° - 22° 30´ = (R:
f) 30° - 18° 10´= (R:
g) 90° - 54° 20´ (R:
h) 120° - 50°45´ =(R:
i) 52°30´ - 20°50´ = (R:
j) 39° 1´ - 10°15´ =  (R:




MULTIPLICAÇÃO DE ÂNGULOS


1º) Exemplo

17°15´ x 2 =

17°15´
___x2
--------
34°30´

2°) Exemplo

24° 20´ x  3 =

24°20´
____3
-------
72°60´ (simplificando) 73°


EXERCÍCIOS

1) Calcule os produtos:

a) 25°10´ x 3 = (R:
b) 44°20´ x 2 = ( R:
c) 35° 10´ x 4 = (R:
d) 16°20´ x 3 = (R:
e) 28°30´ x 2 = (R:
f) 12°40´ x 3  = (R:
g) 15°30´ x 3 = (R:
h) 14° 20´ x 5 =(R:




DIVISÃO DE UM ÂNGULO POR UM NÚMERO


1º Exemplo







2º Exemplo










EXERCÍCIOS

1) Calcule os quocientes:

a) 48° 20´ : 4 = (R:
b) 45° 30´ : 3 = (R:
c) 75° 50´ : 5  = (R:
d) 55° : 2 = (R:
e) 90° : 4 = (R:
f) 22° 40´ : 5 = (R:


2) Calcule:

a) 2/5 de 45° = (R;
b) 5/7 de 84° = (R:
c) 3/4 de 48° 20´ (R:
d) 3/2 de 15° 20´ (R:



ÂNGULOS CONGRUENTES


Dois ângulos são congruentes se as suas medidas são iguais.




Indicação AÔB = CÔD ( significa: AÔB é congruente a CÔD )





BISSETRIZ DE UM ÂNGULO


Bissetriz de um ângulo é a simi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.




EXERCÍCIOS










Responda:

a) Quanto mede o ângulo MÔA?
R:
b) Quanto mede o ângulo NÔC?
R:
c) Quanto mede o ângulo BÔN?
R:
d) Quanto mede o ângulo MÔC?
R:
e) Quanto mede o ângulo AÔN?
R:
f) Quanto mede o ângulo MÔN?
R:














ÂNGULOS RETO, AGUDO E OBTUSO

Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas medidas:

= Ângulo reto é aquele cuja medida é 90°.
= ângulo agudo é aquele cuja medida é menor de 90°
= ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90°



RETAS PERPENDICULARES

Quanto duas retas se interceptam formando ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares.









EXERCÍCIOS

1) Classifique os ângulos apresentados nas figuras em agudos, obtusos ou reto:





2) Identifique na figura:





3) Responda:

a) O menor ângulo formado pelos pnteiros de um relógio às 3 horas é um ângulo agudo, reto ou obtuso?
b) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 2 horas é um ângulo agudo,reto ou obtuso?
c) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 5 horas é um  ângulo é um ângulo agudo, reto ou obtuso?

4) Observe a figura e responda:




Qual o número de elementos do conjunto { a,b,c,x,y,z}?



ÂNGULOS COMPLEMENTARES






Dois angulos são complementares quando am soma de suas medidas é 90°

m(AÔB) + m((BÔC) = m(AÔC)

Exemplos:

= 65° e 25° são ângulos complementares , porque 65° + 25° = 90°
= 40° e 50° são ângulos complementares, porque 40° + 50° = 90°


EXERCÍCIOS 

1) Responda: 

a) Um ângulo de 20° e um de 70° são complementares?
b) Um ângulo de 35° e um de 65° são complementares?
c) Um ângulo de 73° e um de 27° são complementares?
d) Um ângulo de 58° e um de 32° são complementares?


2) Calcule o complemento dos seguintes ângulos:

a) 34°
b) 72°
c) 84°
d) 18° 25´
e) 40° 30´
f) 51° 20´

3) Resolva as equações abaixo, onde a inc´gnita x é um ângulo (medido em graus)

a) 2x = 90°
b) x + 17° = 90°
c)  4x + 10° = 90°
d) x + 8x = 90°
e) 5x - 20° = 1° = 2x
f) x = 2( 90° - x)
g) 4( x + 3° 0 = 20°
h) ( 3x - 20° ) + 50° = 90°
I) 3( x + 1°) = 2( x  + 7°)
J) 2x + 2 (x + 1° ) = 4° + 3 ( x + 2°)

4) Determine x, sabendo que os ângulos são complementares:













5) Dado um ângulo de medida x, indicar:

a) o seu complemento.
b) o dobro do seu complemento
c) o triplo do seu complemento.
d) a metade do seu complemento
e) a terça parte do seu complemento





7) A medida de um ângulo é igual à medida de seu comprimento, quanto mede esse  ângulo?

8) A medida de um ângulo é a metade da medida do seu comprimento. Calcule a medida desse ângulo.

9) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento.

10) A diferença entreo o dobro da medida de um ângulo e o seu complemnto é 45° Calcule a medida desse ângulo.

11) A terça parte do complemento de um ângulo mede 20°. Qual a medida do ângulo?

12) Dois ângulos complementares têm suas medidas expressas em graus por 3x + 25° e 4x - 5° . Quanto medem esses ângulos?




ÂNGULOS SUPLEMENTARES


Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°

m(AÔB) + m(BÔC) = 180°



Exemplos:

= 50° e 130° são angulos suplementares, porque 50° + 130° = 180°
= 125° e 55° são ângulos suplementares, porque 125°  + 55º = 180°


EXERCÍCIOS

1) Responda:

a) Um ângulo de 70° e um de 110° são suplementares?
R: (

b) Um ângulo de 155° e um de 25° são suplementares?

2) Calcule o suplemento dos seguintes ângulos:
a) 30° = (R:
b) 85° = (R: 
c) 72° = (R: 
d) 132° 30´ = (R: 
e) 140° 20´ = (R: 
f) 151° 40` =(R:


3) Determine x, sabendo que os ángulos são suplementares:








4) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:







5) Calcule x:


6) Aquarta parte da medida de um ângulo mede 30°. Calcule a medida do seu suplemento.
(R:
7) A medida de um ângulo é igual à medida de seu suplemento. Calcule esse ângulo.
(R:
8) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento.
(R:
9) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.
(R:
10) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do suplemento desse ângulo é 250°. Calculo a medida do ângulo.
(R:
11) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a 2/3 do seu suplemento.
(R:
12) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é 110° . Quanto mede o ângulo?
(R:


ÂGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE



Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois , opostos pelo vértice


Na figura:

â e  c são opostos pelo vértice.
m e n são opostos pelo vértice


TEOREMA

Dois ângulos opostos´pelo vértice são congruentes.

prova:

Sejam os ângulos a e b opostos pelo vértice.

1) m(â) + m(^c) = 180°

2) m(b) + m(c) = 180°

comparando : m(â) + m(c) = m(b) + m(c)

m(â) = m(b)


Se a e b têm a mesma medida, eles são congruentes.



EXECÍCIOS

1) Quais são os 3 pares de ângulos opostos pelo vértice?



2)  Se x = 50° , determine y, m e n:



3) Calcule os ângulos x,y, z e w da figura:



4) Calcule os ângulos x, y e z das figuras:


5) Calcule x:






6) Calcule x:



7) Calcule x :


8) Calcule x:






9) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por  15x - 14° e 3x + 10°. Quanto vale x?

10) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por (2m - 50) e (m + 35). Quanto vale m?



ÂNGULOS FORMADFOS POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL

Duas retas r e s, interceptadas  pela transversalo t, formam oito ângulos.





Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B são assim determinados:

= Correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7
= Colaterais Internos: 4 e 5, 3 e 6
= Colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7
= Alternos internos: 4 e 6, 3 e 5
= Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8


ILUSTRANDO:

= ALTERNOS (um de cada "lado" da transversal).
= COLATERAIS (ambos do mesmo "lado" da transvwesal)





EXERCÍCIOS


1) Dê o nome dos pares de ângulo de acordo com a figura:




a) a e g
b) a e e
c) d e h
d) c e g
e) c e e
f) a e f
g) b e h
h) b e f
i) d e f
j) c e e
l) c e h
m) b e e

PROPRIEDADES

Considere duas retas paralelas e uma transversal.



 




Medindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir que são validas as seguintes propriedades:
= Os ângulos correspondentes são congruentes
= Os ângulos alternos externos são congruentes
= Os ângulos alternos internos são congruentes.
= Os ângulos colaterais externos são suplememntares.
= Os ângulos colaterais internos são suplementares

EXERCÍCIOS

1)  Sabendo que r//s, determine a medida dos ângulos indicados:

a)



b)



c)


d)


2) Sabendo que r // a , calcule x:

a)

b)


c)


d)


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